$$\large{\begin{gather*}\color{#ff7800}\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots,X_n)^T\\ \\ \normalsize\left(\begin{matrix}{\color{#ff7800}D[X_{1}]}&\sigma_{X_{1}X_{2}}&\dots &\sigma_{X_{1}X_{n}}\\ \sigma_{X_{2}X_{1}}&{\color{#ff7800}D[X_{2}]}&\dots & \sigma_{X_{2}X_{n}}\\ \vdots &\vdots &{\color{#ff7800}\ddots} &\vdots\\ \sigma_{X_{n}X_{1}} & \sigma_{X_{n}X_{2}}&\dots &{\color{#ff7800}D[X_{n}]}\end{matrix}\right)\end{gather*}}$$
Ковариационная матрица
Математический паспорт многомерных данных
- Это квадратная симметричная матрица, которая обобщает дисперсии и попарные ковариации всех компонент случайного вектора
- Обозначается как $\Sigma$ или $\mathbf{C}$
- В линейной алгебре: матричное произведение центрированных данных на самих себя
- $$\Sigma=E[(\mathbf{X}-\mathbf{\mu})(\mathbf{X}-\mathbf{\mu})^{T}]=E[\mathbf{X}_{c}\cdot\mathbf{X}_{c}^{T}]$$
- $$\Sigma_{выб}=\frac{1}{k}\mathbf{X}_{c}^{T}\cdot\mathbf{X}_{c}$$
- Главные элементы структуры:
- Главная диагональ: дисперсии отдельных компонент случайного вектора, которые показывают индивидуальный разброс
- Внедиагональные элементы: все попарные ковариации компонент, которые показывают силу и направление связи между признаками
- Ковариационная матрица описывает форму, масштаб и взаимные линейные связи между компонентами многомерных данных
