Гамма-распределение
Обобщение показательного распределения
- Непрерывное двухпараметрическое распределение — время ожидания $\alpha$ числа событий с постоянной средней интенсивностью $\beta > 0$
- $$X\in[0;+\infty)$$
- Плотность вероятности: выражается через гамма-функцию Эйлера
- $$f(x)=\begin{cases}\frac{\beta^{\alpha }}{\Gamma (\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x},&x\ge 0\\ 0,&x<0\end{cases}$$
- Функция распределения: выражается через регулярную неполную гамма-функцию
- $$F(x)=\frac{\gamma (\alpha,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}$$
- Математическое ожидание: $M(X)=\frac{\alpha}{\beta}$
- Дисперсия: $D(X)=\frac{\alpha}{\beta^2}$
- Мода: $Mo=\begin{cases}\frac{\alpha-1}{\beta},& \alpha>1\\0&\alpha\leq 0\end{cases}$
- Асимметрия и эксцесс: всегда скошено вправо, с увеличением $\alpha$ стремится к распределению Гаусса
- $$A_{s}=\frac{2}{\sqrt{\alpha }},\quad E_{k}=\frac{6}{\alpha}$$
- Пример: время, за которое из капельницы выкапает ровно 100 капель физраствора
