$$\large{\begin{gather*}\color{#ff7800}\mathbf{Ax}=\mathbf{0}\quad\mathrm{rank}(\mathbf{A}) < n\\ \normalsize k=n-\mathrm{rank}(\mathbf{A})\\ \Downarrow\\ \normalsize C=\{\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\ldots,\mathbf{c}_k\}\quad |C|=k\\ \Downarrow\\ \normalsize X_0=\left\{\sum_{i=1}^{k}{\lambda_i\mathbf{c}_i}\ |\ \lambda_i\in\mathbb{R}\right\}\end{gather*}}$$

Фундаментальная система решений

Множество всех линейно независимых решений

Это множество всех линейно независимых решений однородной системы линейных уравнений
Фундаментальную систему решений имеют только однородные неопределенные СЛАУ
Число решений равно разности между числом неизвестных переменных системы и её рангом
$$\mathbf{A}_{(m\times n)}\mathbf{x}=\mathbf{0}\Rightarrow |C|=n-\mathrm{rank}(\mathbf{A})$$
Общее решение однородной СЛАУ может быть представлено через линейную комбинацию решений фундаментальной системы
Все решения однородной СЛАУ образуют векторное пространство, а фундаментальная система решений является базисом этого пространства

. . . решение системы линейных уравнений фундаментальная система решений