$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{cases}a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n}=\color{#ff7800}0\\ \dots\\a_{m1}x_{1}+\dots +a_{mn}x_{n}=\color{#ff7800}0\end{cases}\\ \Updownarrow\\ \normalsize x_{1}\mathbf{a_1}+x_{2}\mathbf{a_2}+\cdots+x_{n}\mathbf{a_n}=\color{#ff7800}\mathbf{0}\\ \normalsize\mathbf{Ax}=\color{#ff7800}\mathbf{0}}}$$

Однородная система уравнений

Все свободные члены равны нулю

Это совместная система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны нулю
Всегда имеет тривиальное решение, при котором все неизвестные переменные раны нулю
Если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных переменных, то система имеет только тривиальное решение
$$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=n\Leftrightarrow\det(\mathbf{A})\neq 0$$
Если ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных переменных, то система кроме тривиального имеет и другие решения
$$\mathrm{rank}(\mathbf{A}) < n\Leftrightarrow\det(\mathbf{A})=0$$