$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{c|c} & \color{#ff7800}\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}}\\ \hline \color{#ff7800}\mathrm{T}_{\vec{w}} & \begin{cases}\mathrm{S}, & \vec{v}+\vec{w}\nparallel n\\ \mathrm{L}, & \vec{v}+\vec{w}\parallel n\end{cases}\\ \hline \color{#ff7800}\mathrm{R}_{\varphi}^{O} & \begin{cases}\mathrm{S}, & O_1\in n\\ \mathrm{L}, & O_1 \notin n\end{cases}\\ \hline \color{#ff7800}\mathrm{S}_{l} & \begin{cases}\mathrm{T}, & l\parallel n\\ \mathrm{R}, & l\nparallel n\end{cases}\\ \hline \color{#ff7800}\mathrm{L}_{m}^{\vec{a}} & \begin{cases}\mathrm{T}, & m\parallel n\\ \mathrm{R}, & m\nparallel n\end{cases} \end{array}}}$$

Композиции со скользящей симметрией

Композиции движений плоскости

Композиция скользящей симметрии и переноса — это композиция отражения и нового переноса на суммарный вектор
$$\small\mathrm{T}_{\vec{w}}\circ\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}}=(\mathrm{T}_{\vec{v}}\circ\mathrm{T}_{\vec{w}})\circ\mathrm{S}_{n}=\mathrm{T}_{\vec{v}+\vec{w}}\circ\mathrm{S}_{n}$$
$$\small\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}}\circ\mathrm{T}_{\vec{w}}=\mathrm{S}_{n}\circ(\mathrm{T}_{\vec{v}}\circ\mathrm{T}_{\vec{w}})=\mathrm{S}_{n}\circ\mathrm{T}_{\vec{v}+\vec{w}}$$
Композиция скользящей симметрии и поворота — это композиция отражения и поворота на тот же угол от новой точки
$$\small\mathrm{R}_{\varphi}^{O}\circ\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}}=(\mathrm{R}_{\varphi}^{O}\circ\mathrm{T}_{\vec{v}})\circ\mathrm{S}_{n}=\mathrm{R}_{\varphi}^{O_1}\circ\mathrm{S}_{n}$$
$$\small\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}}\circ\mathrm{R}_{\varphi}^{O}=\mathrm{S}_{n}\circ(\mathrm{T}_{\vec{v}}\circ\mathrm{R}_{\varphi}^{O})=\mathrm{S}_{n}\circ\mathrm{R}_{\varphi}^{O_2}$$
Композиция скользящей симметрии и отражения (или двух скользящих симметрий) — это композиция переноса и двух отражений
$$\mathrm{S}_{l}\circ\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}}=(\mathrm{S}_{l}\circ\mathrm{S}_{n})\circ\mathrm{T}_{\vec{v}}$$

. . . подобие движение движение плоскости композиция подобий