$$\large{\displaylines{\Large\color{#ff7800}g\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\\X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\\O=(o_1,o_2,\ldots,o_n)\in\mathbb{R}^n\\ \Downarrow \\ \normalsize\forall X\quad\rho(O, gX)={\color{#ff7800}k}\cdot\rho(O,X)\\ \normalsize g(O)=O,\quad\color{#ff7800}k\neq 0\\ \\ \normalsize gX=(k(x_1-o_1)+o_1,\\ \normalsize k(x_2-o_2)+o_2,\ldots,\\ \normalsize k(x_n-o_n)+o_n)}}$$

Гомотетия

Гомотеция, однородное расширение

Это преобразование подобия c неподвижной точкой всегда сохраняющее ориентацию
$$\mathrm{H}_{O}^{k}(O)=O,\quad k\neq 0$$
Свойства:
Сохраняет коллинеарность
$\mathrm{H}_{O}^{k}$ — это подобие с коэффициентом $|k|$
При $|k|>1$ точки удаляются от центра
При $0 < |k| < 1$ точки приближаются к центру
При $k=1$ гомотетия является тождественным преобразованием или $\mathrm{Id}$
При $k=-1$ гомотетия является центральной симметрией или поворотом на $180^\circ$
Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны

. . . подобие гомотетия