$$\large{\begin{gather*}\normalsize\begin{array}{l|l}1 & E[Y\mid X=x]=f(x)\\ \\2 & \small E[cY\mid X]=c\cdot E[Y\mid X]\\ & \small E[Y+Z\mid X]=E[Y\mid X]+E[Z\mid X]\\ \\ 3 & E[g(X)\cdot Y\mid X]=g(X)\cdot E[Y\mid X]\\ \\ 4 & X\perp \!\!\!\perp Y\Rightarrow E[Y\mid X]=E[Y]\\ \\ 5 & E_{X}[E[Y\mid X]]=E[Y]\end{array}\end{gather*}}$$
Свойства условного матожидания
Фундаментальные свойства
- Это функция: образует линию регрессии
- Линейность: линейная функция
- Вынесение известного: если функция $g(X)$ зависит только от $X$, то при фиксации $X$ она выносится за знак ожидания как константа
- Поведение при независимости: условное математическое ожидание равно обычному
- Закон полного математического ожидания: если усреднить все локальные условные средние, то получится глобальное среднее по переменной
