$$\large{\begin{gather*}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\\ \Updownarrow\\ \normalsize\color{#ff7800}\mathrm{rank}(\mathbf{A})=\mathrm{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{B})\end{gather*}}$$
Теорема Кронекера — Капелли
Теорема Руше — Капелли или Руше — Фробениуса
- Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы
- $$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=\mathrm{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{B})$$
- Cтолбец свободных членов (B) не является линейно-независимым и может быть представлен через столбцы основной матрицы коэффициентов (A)
- Следствие:
- Совместная СЛАУ определена, если её ранг равен числу неизвестных переменных
- $$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=\mathrm{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{B})=n$$
- Теорема Кронекера — Капелли — это необходимое и достаточное условие совместности СЛАУ
