$$\large{\displaylines{\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\\ \Updownarrow\\ \normalsize\color{#ff7800}\mathrm{rank}(\mathbf{A})=\mathrm{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{B})}}$$

Теорема Кронекера — Капелли

Теорема Руше — Капелли или Руше — Фробениуса

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы
$$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=\mathrm{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{B})$$
Cтолбец свободных членов (B) не является линейно-независимым и может быть представлен через столбцы основной матрицы коэффициентов (A)
Следствие:
Совместная СЛАУ определена, если её ранг равен числу неизвестных переменных
$$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=\mathrm{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{B})=n$$
Теорема Кронекера — Капелли — это необходимое и достаточное условие совместности СЛАУ

. . . решение системы линейных уравнений теорема кронекера — капелли