$$\large{\begin{gather*}\normalsize\begin{cases}a_{11}x_{1}+\dots +a_{1n}x_{n}=\color{#ff7800}0\\ \dots\\a_{m1}x_{1}+\dots +a_{mn}x_{n}=\color{#ff7800}0\end{cases}\\ \Updownarrow\\ \normalsize x_{1}\mathbf{a_1}+x_{2}\mathbf{a_2}+\cdots+x_{n}\mathbf{a_n}=\color{#ff7800}\mathbf{0}\\ \normalsize\mathbf{Ax}=\color{#ff7800}\mathbf{0}\end{gather*}}$$
Однородная система уравнений
Все свободные члены равны нулю
- Это совместная система линейных уравнений, в которой все свободные члены равны нулю
- Всегда имеет тривиальное решение, при котором все неизвестные переменные раны нулю
- Если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных переменных, то система имеет только тривиальное решение
- $$\mathrm{rank}(\mathbf{A})=n\Leftrightarrow\det(\mathbf{A})\neq 0$$
- Если ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных переменных, то система кроме тривиального имеет и другие решения
- $$\mathrm{rank}(\mathbf{A}) < n\Leftrightarrow\det(\mathbf{A})=0$$
