Связь ядра и образа со свойствами линейного преобразования
Инъекция, сюръекция и биекция
- Линейное преобразование $f:V\to W$ является:
- Инъекцией, только если ядро содержит только нулевой элемент, а дефект равен нулю
- $$\ker(f)=\{\mathbf{0}\}\Leftrightarrow\dim(\ker(f))=0$$
- Сюръекцией, только если образ — это все пространство, а ранг равен его размерности
- $$\mathrm{im}(f)=W\Leftrightarrow\dim(\mathrm{im}(f))=\dim(W)$$
- Биекцией, только если дефект равен нулю и ранг равен размерности пространства образов
- $$\dim(\ker(f))=0$$
- $$\dim(\mathrm{im}(f))=\dim(W)$$
