$$\large{\begin{gather*}\Large\color{#ff7800}f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\\ \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\\ \mathbf{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n\\ \Downarrow \\ \normalsize\forall\mathbf{x},\mathbf{y}\quad\color{#ff7800}f(\mathbf{x}+\mathbf{y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})\\ \normalsize\forall\mathbf{x},\alpha\in\mathbb{R}\quad\color{#ff7800}f(\alpha\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot f(\mathbf{x})\end{gather*}}$$
Линейное преобразование
Линейный оператор, линейное отображение
- Это преобразование метрического пространства, удовлетворяющее двум условиям линейности:
- Аддитивность — преобразование сохраняет операцию сложения:
- $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
- Однородность 1 степени — преобразование сохраняет операцию умножения на скаляр:
- $$f(\alpha\cdot x)=\alpha\cdot f(x)$$
- Линейное преобразование сохраняет начало координат, а линии координатной сетки остаются параллельными и равноудаленными друг от друга
