$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{l|l} \cdot & \large\color{#ff7800}f(x)=x^2\quad f'(x)=2x\\ & 2x=0\Leftrightarrow x=0\\ & \forall x\in\mathbb{R}\quad f(x)\geq f(0)\\ \\ \cdot & \large\color{#ff7800}f(x)=x^3\quad f'(x)=3x^2\\ & 3x^2=0\Leftrightarrow x=0\\ & \forall x\in\mathbb{R}:x\geq 0\quad f(x)\geq f(0)\\ & \forall x\in\mathbb{R}:x\leq 0\quad f(x)\leq f(0) \end{array}}}$$

Лемма Ферма

Когда производная функции равна нулю?

Производная функции $f(x)$, дифференцируемой на интервале $(a,b)$, в точке локального экстремума, принадлежащей данному интервалу, равна нулю
Равенство нулю производной функции в некоторой точке — это необходимое условие существования локального экстремума в данной точке
Если $x_0$ — это точка локального максимума:
$$\forall x\in(a,b):f(x)\leq f(x_0)$$
$$0\leq f_{-}'(x_0)=f'(x_0)=f_{+}'(x_0)\leq 0$$
Если $x_0$ — это точка локального минимума:
$$\forall x\in(a,b):f(x)\geq f(x_0)$$
$$0\geq f_{-}'(x_0)=f'(x_0)=f_{+}'(x_0)\geq 0$$