$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{l|l} 1 & {\color{#ff7800}\exists f'(x_0)}\Leftrightarrow f'_{-}(x_0)=f'_{+}(x_0)\\ & \small f'(x_0)=f'_{-}(x_0)=f'_{+}(x_0)\\ \\ 2 & \displaystyle{\color{#ff7800}\exists f'(x_0)}\Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{array}}}$$

Когда существует производная функции?

Необходимые и достаточные условия

Необходимое и достаточное условие: функция имеет производную в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны друг другу односторонние производные слева и справа
$$f'(x_0)=f'_{-}(x_0)=f'_{+}(x_0)$$
Необходимое условие: если функция имеет производную в некоторой точке, то функция в этой точке непрерывна

. . . производная функции определение производной функции