$$\large{\begin{gather*}\normalsize\begin{array}{l|l}1 & \displaystyle{\color{#ff7800}f(x)=\frac{\sin x}{x}}\quad\nexists\frac{\sin 0}{0}\\& \displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)=\lim_{x\to 0+}f(x)=1\\ \\2 & \color{#ff7800}f(x)=\begin{cases}\ \ 1, & x>0\\ \ \ 0, & x=0\\-1, & x<0\end{cases}\\& \displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)=-1\\& \displaystyle\lim_{x\to 0+}f(x)=1\end{array}\end{gather*}}$$
Точка разрыва первого рода
Функция терпит разрыв в точке
- Это точка, в которой не выполняется условие непрерывности функции, но существуют оба конечных односторонних предела функции
- $$\small\left(\exists\left|\lim_{x\to x_0-}f(x)\right|<\infty\right)\land\left(\exists\left|\lim_{x\to x_0+}f(x)\right|<\infty\right)$$
- Устранимая точка разрыва — это точка, в которой существует конечный двусторонний предел, но функция не определена, либо предел не совпадает со значением функции
- $$\lim_{x\to x_0-}f(x)=\lim_{x\to x_0+}f(x)\neq f(x_0)$$
- Точка разрыва «скачок» — это точка, в которой существуют два различных конечных односторонних предела функции
- $$\lim_{x\to x_0-}f(x)\neq\lim_{x\to x_0+}f(x)$$
