$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{l|l} 1 & \displaystyle\color{#ff7800}f(x)=\frac{1}{x}\\ & \displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)=-\infty\\ & \displaystyle\lim_{x\to 0+}f(x)=+\infty\\ \\ 2 & \displaystyle\color{#ff7800}f(x)=\sin\frac{1}{x}\\ & \displaystyle\nexists\lim_{x\to 0-}f(x)\quad\nexists\lim_{x\to 0+}f(x) \end{array}}}$$

Точка разрыва второго рода

Функция терпит разрыв в точке

Это точка, в которой не существует хотя бы одного конечного одностороннего предела функции
$$\small\left(\nexists\left|\lim_{x\to x_0-}f(x)\right|<\infty\right)\lor\left(\nexists\left|\lim_{x\to x_0+}f(x)\right|<\infty\right)$$
Точка разрыва «полюс» — это точка, в которой хотя бы один односторонний предел функции равен бесконечности
$$\small\left(\exists\left|\lim_{x\to x_0-}f(x)\right|=\infty\right)\lor\left(\exists\left|\lim_{x\to x_0+}f(x)\right|=\infty\right)$$
Точка существенного разрыва — это точка, в которой хотя бы один односторонний предел функции вообще не существует
$$\small\left(\nexists\lim_{x\to x_0-}f(x)\right)\lor\left(\nexists\lim_{x\to x_0+}f(x)\right)$$

. . . непрерывная функция точка разрыва второго рода