$$\large{\displaylines{\lim_{x\to x_0}g(\underbrace{f(x)}_{\color{#ff7800}y})=\lim_{\color{#ff7800}y\to y_0}g({\color{#ff7800}y})\\{\color{#ff7800}y_0}=\lim_{x\to x_0}f(x)\\ \\ \normalsize\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+\underbrace{e^{-x}}_y}=\lim_{y\to 0}\frac{1}{1+y}=1\\ \normalsize y_0=\lim_{x\to\infty}e^{-x}=0}}$$

Предел композиции функций

Предел сложной функции

Пусть даны две функции, такие что область значений одной функции включена в область определения другой функции
$$f:X\to\mathbb{R},\ g:Y\to\mathbb{R},\ E(f)\subset D(g)$$
Пусть существуют конечные или бесконечные пределы этих двух функций
$$\lim_{x\to x_0}f(x),\ \lim_{y\to y_0}g(y)$$
Тогда существует конечный или бесконечный предел композиции этих функций
$$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=\lim_{y\to y_0}g(y)$$

. . . операции с пределами функций предел композиции функций