$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{c|l} 1 & \displaystyle{\color{#ff7800}\sum_{n=1}^{\infty}0^n}=0+0+0+\ldots=0\\ \\ 2 & \displaystyle{\color{#ff7800}\sum_{n=1}^{\infty}1^n}=1+1+1+\ldots=\infty\\ \\ 3 & \displaystyle{\color{#ff7800}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n}=1+(-1)+1+\ldots \end{array}}}$$

Сумма ряда

Предел частичных сумм ряда

Если существует конечный предел частичных сумм ряда, то ему равна и сумма ряда
$$\small\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i\right)\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$$
Если существует бесконечный предел частичных сумм ряда, то и сумма ряда стремится к бесконечности
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i=\infty\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\infty$$
Если предела частичных сумм ряда не существует, то и суммы ряда не существует
$$\nexists\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i\Leftrightarrow\nexists\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$

. . . поведение рядов сумма ряда