$$\large{\displaylines{\color{#ff7800}\mathbf{P}_{n}^{k}(A)\approx\frac{1}{\sqrt{npq}}\cdot\varphi(x)\\ \\ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\\ \\x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}}}$$

Локальная теорема Муавра – Лапласа

Приближенная вероятность наступления события ровно $k$ раз при большом числе испытаний

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие $A$ наступит ровно $k$ раз, при большом числе испытаний приближенно равна:
$$\small\mathbf{P}_{n}^{k}(A)\approx\frac{1}{\sqrt{npq}}\cdot\varphi(x),\ x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$$
Обозначения:
$p$ – постоянная вероятность наступления события в каждом из испытаний, $p\in(0,1)$
$q$ – постоянная вероятность ненаступления события в каждом из испытаний, $q\in(0,1)$
$\varphi(x)$ – чётная функция плотности стандартного распределения вероятностей
$$\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}},\ \varphi(-x)=\varphi(x)$$
Биномиальное распределение вероятностей при большом числе испытаний асимптотически выражается через нормальное распределение
➲ Задача по теме

. . . предельная теорема муавра – лапласа локальная теорема муавра – лапласа