Связь ядра и образа со свойствами линейного преобразования

Инъекция, сюръекция и биекция

Линейное преобразование $f:V\to W$ является:
Инъекцией, только если ядро содержит только нулевой элемент, а дефект равен нулю
$$\ker(f)=\{\mathbf{0}\}\Leftrightarrow\dim(\ker(f))=0$$
Сюръекцией, только если образ — это все пространство, а ранг равен его размерности
$$\mathrm{im}(f)=W\Leftrightarrow\dim(\mathrm{im}(f))=\dim(W)$$
Биекцией, только если дефект равен нулю и ранг равен размерности пространства образов
$$\dim(\ker(f))=0$$
$$\dim(\mathrm{im}(f))=\dim(W)$$