$$\large{\displaylines{\underbrace{\mathbf{A}}_{m\times\color{#ff7800}n}\times\underbrace{\mathbf{B}}_{{\color{#ff7800}n}\times p}=\underbrace{\mathbf{C}}_{m\times p}\\ \\ \normalsize{\color{#ff7800}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}=\\ \\ \normalsize=\begin{pmatrix}{\color{#ff7800}1}\cdot 7+{\color{#ff7800}2}\cdot 9&{\color{#ff7800}1}\cdot 8+{\color{#ff7800}2}\cdot 10\\{\color{#ff7800}3}\cdot 7+{\color{#ff7800}4}\cdot 9&{\color{#ff7800}3}\cdot 8+{\color{#ff7800}4}\cdot 10\\{\color{#ff7800}5}\cdot 7+{\color{#ff7800}6}\cdot 9&{\color{#ff7800}5}\cdot 8+{\color{#ff7800}6}\cdot 10\end{pmatrix}}}$$

Умножение матриц

Произведение матриц — «строка на столбец»

Результатом умножения двух матриц является матрица из сумм произведений элементов строк первой матрицы на элементы столбцов второй
$$\mathbf{A}_{m,\ \underline{n}}\times\mathbf{B}_{\underline{n},\ p}=\left(\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\right)=\mathbf{C}_{m,\ p}$$
Матрицы можно умножить, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй
Свойства:
Некоммутативность: $\mathbf{A}\mathbf{B}\neq\mathbf{B}\mathbf{A}$
Ассоциативность: $(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})$
Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения матриц
$$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{AC}+\mathbf{BC}$$
$$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB}+\mathbf{AC}$$
Ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число
$$(\lambda\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda\mathbf{B})=\lambda (\mathbf{AB})$$

. . . операции над матрицами умножение матриц