$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{c|c|c} & \color{#ff7800}\mathrm{T}_{\vec{v}} & \color{#ff7800}\mathrm{R}_{\varphi}^{O}\\ \hline \color{#ff7800}\mathrm{T}_{\vec{w}} & \mathrm{T}_{\vec{v}+\vec{w}} & \mathrm{R}_{\varphi}^{O_1}\\ \hline \color{#ff7800}\mathrm{R}_{\psi}^{A} & \mathrm{R}_{\psi}^{A_1} & \begin{cases}\mathrm{R}_{\varphi+\psi}^{B}, & \varphi+\psi\neq 0\\ \mathrm{T}_{\vec{u}}, & \varphi+\psi=0\end{cases} \end{array}}}$$

Композиции переносов или поворотов

Подгруппа переносов и поворотов плоскости

Композиция переносов — это перенос на суммарный вектор, порядок не важен
$$\mathrm{T}_{\vec{w}}\circ\mathrm{T}_{\vec{v}}=\mathrm{T}_{\vec{v}}\circ\mathrm{T}_{\vec{w}}=\mathrm{T}_{\vec{v}+\vec{w}}$$
Композиция поворотов — это поворот на сумму углов относительно общей (порядок не важен) или новой точки (порядок важен)
$$\mathrm{R}_{\varphi}^{O}\circ\mathrm{R}_{\psi}^{O}=\mathrm{R}_{\psi}^{O}\circ\mathrm{R}_{\varphi}^{O}=\mathrm{R}_{\varphi+\psi}^{O}$$
$$\mathrm{R}_{\psi}^{A}\circ\mathrm{R}_{\varphi}^{O}=\mathrm{R}_{\varphi+\psi}^{B}$$
Перенос + поворот — это поворот на тот же угол относительно новой точки (порядок важен)
$$\mathrm{R}_{\psi}^{A}\circ\mathrm{T}_{\vec{v}}=\mathrm{R}_{\psi}^{A_1}$$

. . . подобие движение движение плоскости композиция подобий