$$\large{\displaylines{\Large {\color{#ff7800}{P_{n; \ k,n-1}=C_{n}^{k}}} \\ \\ A=\{\underbrace{a_1,a_2,a_3,a_4}_{\color{#ff7800}n=4} \} \\ \downarrow \\ \{a_1,a_3 \} \quad (1,0,1,0) \\ \{\underbrace{a_2,a_4}_{\color{#ff7800}k=2} \} \quad (\underbrace{0,1,0,1}_{\color{#ff7800}n=4})}}$$

Связь числа перестановок c повторениями и биномиальных коэффициентов

Из $n$ элементов двух типов

Каждому сочетанию из $n$ по $k$ можно однозначно сопоставить упорядоченный набор из $n$ элементов двух типов: $0$ — элемент на данной позиции не включен, $1$ — включен
По принципу биекции, число перестановок с повторениями из $n$ элементов двух типов равно числу сочетаний без повторений из $n$ по $k$

. . . комбинаторные тождества связь перестановок и сочетаний сочетание сочетание без повторений биномиальный коэффициент перестановка перестановка с повторениями