$$\large{\displaylines{\forall x\in(a,b)\quad g'(x)\neq 0\\ \\ \frac{f(b)-f(a)}{\color{#ff7800}\underbrace{g(b)-g(a)}_{\neq 0}}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}}$$

Теорема Коши

Обобщение формулы конечных приращений

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемы на интервале $(a,b)$, то на интервале $(a,b)$ найдётся такая точка $c$, что:
$$\small\big{(}f(b)-f(a)\big{)}\cdot g'(с)=\big{(}g(b)-g(a)\big{)}\cdot f'(с)$$
Если производная функции $g'(x)$ не равна нулю в любой точке на интервале $(a,b)$, то:
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$
Геометрический смысл: на любом отрезке $[a,b]$ кривой, заданной на плоскости значениями функций $f(x)$ и $g(x)$, существует касательная, параллельная хорде, проходящей через точки $a$ и $b$