$$\large{\begin{gather*}\normalsize\begin{array}{l|l}1 & \displaystyle{\color{#ff7800}\left(\frac{1}{x}\right)'}=\left(x^{-1}\right)'=-\frac{1}{x^2}\\ \\ 2 & \displaystyle{\color{#ff7800}\left(\sqrt{x}\right)'}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}\end{gather*}}$$
Производные степенной функции
С целым и дробным показателями степени
- Производная степенной функции с целым ненулевым показателем степени:
- $$(x^a)'=a\cdot x^{a-1},\quad a\neq0$$
- $$\left(\frac{1}{x^a}\right)'=(x^{-a})'=-\frac{a}{x^{a+1}}$$
- Производная степенной функции с дробным показателем степени:
- $$\left(\sqrt[a]{x}\right)'=\left(x^{\frac{1}{a}}\right)'=\frac{1}{a}x^{\frac{1-a}{a}}=\frac{1}{a\cdot\sqrt[a]{x^{a-1}}}$$
