$$\large{\begin{gather*}\forall x\in(a,b)\quad g'(x)\neq 0\\ \\ \frac{f(b)-f(a)}{\color{#ff7800}\underbrace{g(b)-g(a)}_{\neq 0}}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\end{gather*}}$$
Теорема Коши
Обобщение формулы конечных приращений
- Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемы на интервале $(a,b)$, то на интервале $(a,b)$ найдётся такая точка $c$, что:
- $$\small \bigl( f(b) - f(a) \bigr) \cdot g'(c) = \bigl( g(b) - g(a) \bigr) \ f'(c)$$
- Если производная функции $g'(x)$ не равна нулю в любой точке на интервале $(a,b)$, то:
- $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$
- Геометрический смысл: на любом отрезке $[a,b]$ кривой, заданной на плоскости значениями функций $f(x)$ и $g(x)$, существует касательная, параллельная хорде, проходящей через точки $a$ и $b$
