$$\large{\begin{gather*}\color{#ff7800}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}\to\infty,\ \alpha\leqslant 1\\ \\ \color{#ff7800}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}=\zeta(\alpha),\ \alpha > 1\\ \\ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\end{gather*}}$$
Обобщенный гармонический ряд
Частный случай ряда Дирихле
- Это сумма обратных членов натурального ряда, возведенных в произвольную степень
- $$1+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\frac{1}{4^\alpha}+\ldots$$
- Ряд расходится при $\alpha\leqslant 1$, сумма ряда стремится к бесконечности
- Ряд сходится при $\alpha > 1$, сумма ряда равна значению дзета-функции Римана
- $\zeta(\alpha)=\frac{1}{1^\alpha}+\frac{1}{2^\alpha}+\frac{1}{3^\alpha}+\ldots$
