$$\large{\begin{gather*}\small\begin{array}{c|l}1 & (a_n)_{n=1}^{\infty}\Leftrightarrow\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\geqslant N:\\ & \displaystyle\color{#ff7800}a_n\geqslant x\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n\geqslant x\\& \displaystyle\color{#ff7800}a_n > x\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n\geqslant x \\& \displaystyle\color{#ff7800}a_n\leqslant x\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n\leqslant x\\& \displaystyle\color{#ff7800}a_n < x\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n\leqslant x\\2 & (a_n)_{n=1}^{\infty},(b_n)_{n=1}^{\infty}\Leftrightarrow\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\geqslant N:\\& \displaystyle\color{#ff7800}a_n\leqslant b_n\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n\leqslant\lim_{n\to\infty}b_n\\3 & (a_n)_{n=1}^{\infty}\Leftrightarrow\forall n:\\& \displaystyle\color{#ff7800}a_n\in[a,b]\Rightarrow\lim_{n\to\infty}a_n\in[a,b]\end{array}\end{gather*}}$$
Предельный переход в неравенствах
Неравенства для пределов
- Неравенства, которым удовлетворяют члены сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей
- Если члены последовательности, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству, то и её предел удовлетворяет этому неравенству
- Пределы двух или более последовательностей также удовлетворяют неравенству их членов
- Если все члены последовательности лежат на некотором отрезке, то на нём лежит и её предел
