$$\large{\displaylines{\normalsize\color{#ff7800}\mathbf{P}_{n}^{k_{1}\leq k\leq k_{2}}(A)\approx\Phi(x_2)-\Phi(x_1)\\ \\ \normalsize\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\int_{0}^{x}e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz\\ \\ \normalsize\Phi(0)=0,\ \Phi(1)\approx 0.3413\\ \normalsize\Phi(2)\approx 0.4772,\ \Phi(3)\approx 0.4987\\ \normalsize\Phi(\geq 4)\approx 0.5}}$$

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Приближенная вероятность наступления события не менее $k_1$ и не более $k_2$ раз

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие $A$ наступит не менее $k_1$ и не более $k_2$ раз, при большом числе испытаний приближенно равна:
$$\mathbf{P}_{n}^{k_{1}\leq k\leq k_{2}}(A)\approx\Phi(x_2)-\Phi(x_1)$$
$$\small x_2=\frac{k_{2}-np}{\sqrt{npq}},\ x_1=\frac{k_{1}-np}{\sqrt{npq}}$$
Обозначения:
$p$ – постоянная вероятность наступления события в каждом из испытаний, $p\in(0,1)$
$q$ – постоянная вероятность ненаступления события в каждом из испытаний, $q\in(0,1)$
$\Phi(x)$ – нечётная функция Лапласа
$$\small\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\int_{0}^{x}e^{-\frac{z^{2}}{2}}dz,\ \Phi(-x)=-\Phi(x)$$

. . . предельная теорема муавра – лапласа интегральная теорема муавра – лапласа