$$\large{\begin{gather*}\color{#ff7800}(V,F,+,\cdot)\quad\lVert\cdot\rVert:V\to\mathbb{R}_{+}\\ \color{#ff7800}\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in V\quad\forall\lambda\in F\\ \\ \normalsize\|\mathbf{x}\|=0\Rightarrow\mathbf{x}=\mathbf{0}\\ \\ \normalsize\|\lambda\mathbf{x}\|=|\lambda|\cdot\|\mathbf{x}\|\\ \\ \normalsize\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|\leqslant\|\mathbf{x}\|+\|\mathbf{y}\|\end{gather*}}$$

Нормированное пространство

Векторное пространство + норма

Это пара $(V,\lVert\cdot\rVert)$, где $V$ — векторное пространство с заданной на нём нормой $\lVert\cdot\rVert:V\to\mathbb{R}_{+}$
Аксиомы нормы:
Положительная определенность: $\|\mathbf{x}\|\geqslant 0$
$\|\mathbf{x}\|=0\Rightarrow\mathbf{x}=\mathbf{0}$
Абсолютная однородность: $\|\lambda\mathbf{x}\|=|\lambda|\cdot\|\mathbf{x}\|$
Аксиома треугольника: $\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|\leqslant\|\mathbf{x}\|+\|\mathbf{y}\|$
Тогда: векторное пространство $V$ — это носитель нормированного пространства, а $\lVert\cdot\rVert$ — его норма