$$\large{\begin{gather*}\normalsize\begin{array}{l|l}1 & \color{#ff7800}l\parallel k\parallel m\\& \mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{S}_{n}\\& \small n\parallel m,\quad\rho(n,m)=\rho(l,k)\\& \small n\parallel l,\quad\rho(l,n)=\rho(k,m)\\ \\2 & \color{#ff7800}\exists O:O\in l,k,m\\& \mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{S}_{n}\\& \small O\in n,\quad\langle n,m\rangle=\langle l,k\rangle\\& \small O\in n,\quad\langle l,n\rangle=\langle k,m\rangle\\ \\3 & \color{#ff7800}l\nparallel k\nparallel m,\quad\nexists O:O\in l,k,m\\& \mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}},\quad\vec{v}\parallel n\end{array}\end{gather*}}$$
Композиции трех отражений плоскости
Либо отражение, либо скользящая симметрия
- Линии параллельны — это отражение относительно новой прямой, параллельной всем исходным прямым
- $$\mathrm{S}_{m}\circ(\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l})=\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{T}_{\vec{2\cdot\rho(l,k)}}=$$
- $$=(\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{m})\circ\mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{n}$$
- Линии пересекаются в одной точке — это отражение относительно новой прямой, проходящей через общую точку пересечения
- $$\mathrm{S}_{m}\circ(\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l})=\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{R}_{2\langle l,k\rangle}^{O}=$$
- $$=(\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{m})\circ\mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{n}$$
- Линии не параллельны и не пересекаются в одной точке — это скользящая симметрия
- $$\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{S}_{n}\circ\mathrm{T}_{\vec{v}}$$
- Если композиция трех отражений не имеет неподвижных точек, то это скользящая симметрия
