$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{l|l} 1 & \color{#ff7800}l\parallel k\parallel m\\ & \mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{S}_{n}\\ & \small n\parallel m,\quad\rho(n,m)=\rho(l,k)\\ & \small n\parallel l,\quad\rho(l,n)=\rho(k,m)\\ \\ 2 & \color{#ff7800}\exists O:O\in l,k,m\\ & \mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{S}_{n}\\ & \small O\in n,\quad\langle n,m\rangle=\langle l,k\rangle\\ & \small O\in n,\quad\langle l,n\rangle=\langle k,m\rangle\\ \\ 3 & \color{#ff7800}l\nparallel k\nparallel m,\quad\nexists O:O\in l,k,m\\ & \mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{L}_{n}^{\vec{v}},\quad\vec{v}\parallel n \end{array}}}$$

Композиции трех отражений плоскости

Либо отражение, либо скользящая симметрия

Линии параллельны — это отражение относительно новой прямой, параллельной всем исходным прямым
$$\mathrm{S}_{m}\circ(\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l})=\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{T}_{\vec{2\cdot\rho(l,k)}}=$$
$$=(\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{m})\circ\mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{n}$$
Линии пересекаются в одной точке — это отражение относительно новой прямой, проходящей через общую точку пересечения
$$\mathrm{S}_{m}\circ(\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l})=\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{R}_{2\langle l,k\rangle}^{O}=$$
$$=(\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{m})\circ\mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{n}$$
Линии не параллельны и не пересекаются в одной точке — это скользящая симметрия
$$\mathrm{S}_{m}\circ\mathrm{S}_{k}\circ\mathrm{S}_{l}=\mathrm{S}_{n}\circ\mathrm{T}_{\vec{v}}$$
Если композиция трех отражений не имеет неподвижных точек, то это скользящая симметрия

. . . подобие движение движение плоскости композиция подобий