$$\large{\displaylines{\color{#ff7800}C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-\cdots=0 \\ \\ C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+\cdots=2^{n-1} \\ C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+\cdots=2^{n-1}}}$$

Знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов

чётные и нечётные подмножества

Знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов для сочетаний из $n$ по $k$, где $k \in \{0,1,\ldots,n \}$, равна нулю
Количество всех подмножеств с чётным количеством элементов равно количеству всех подмножеств с нечётным количеством элементов
$$0=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}$$