$$\large{\displaylines{{\color{#ff7800}(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}y^{n-k}} \\ \\ \normalsize (x+y)^{2}={\color{#ff7800}1}x^{2}+{\color{#ff7800}2}xy+{\color{#ff7800}1}y^{2} \\ \normalsize (x+y)^{3}={\color{#ff7800}1}x^{3}+{\color{#ff7800}3}x^{2}y+{\color{#ff7800}3}xy^{2}+{\color{#ff7800}1}y^{3}}}$$

Бином Ньютона

Разложение на слагаемые

Это формула разложения на отдельные слагаемые натуральной степени суммы двух переменных
$$(x+y)^n={\underbrace{(x+y)(x+y) \ldots (x+y)}_{n}}$$
Для получения слагаемого из каждой скобки нужно взять или $x$ или $y$
Если из $k$ скобок взяли $x$, тогда из $(n-k)$ скобок взяли $y$ и получили слагаемое вида $x^{k}y^{n-k}$ в количестве равном числу сочетаний из $n$ по $k$
При каждом конкретном $k$ получаем слагаемые вида $C_{n}^{k}x^{k}y^{n-k}$ и суммируем их по $k$

. . . сочетание сочетание без повторений бином ньютона