$$\large{\displaylines{1 \\ 1 \quad \color{#ff7800}1 \\ 1 \quad {\color{#ff7800}2} \quad 1 \\ 1 \quad {\color{#ff7800}3} \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad {\LARGE \color{#ff7800}⑥} \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1}}$$

Сумма биномиальных коэффициентов для k-сочетаний из различных n

С фиксированным $k$

Количество всех возможных сочетаний из всех $n$ по $k$, где $n \in \{0,1,\ldots,n \}$, равно $C_{n+1}^{k+1}$
$$C_{n+1}^{k+1}=\sum_{m=k}^{n}C_{m}^{k}$$