$$\large{\displaylines{\normalsize\begin{array}{l|l} 1 & \color{#ff7800}x\to 0:\sin x \sim x\\ & \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\\ \\ 2 & \color{#ff7800}x\to\infty:3x\in o(x^2)\\ & \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x^2}=0\\ \\ 3 & \color{#ff7800}x^3+x^2\in O(x^3)\\ & \displaystyle\exists (C>0):|x^3+x^2|\leq C|x^3| \end{array}}}$$

Асимптотическое сравнение функций

Сравнение поведения функций

Асимптотика — это поведение функции при стремлении её аргумента к некоторой точке
Асимптотическое равенство: функции асимптотически эквивалентны
$$f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$
o и $\omega$ малые: функция асимптотически доминирует над другой функцией
$$f(x)\in o(g(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$
$$g(x)\in\omega(f(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$
O и $\Omega$ большие: функция ограничена другой функцией с точностью до константы
$$\small f(x)\in O(g(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}\leq C,\quad C>0$$
$$\small g(x)\in\Omega(f(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}\leq C,\quad C>0$$
$$\small f(x)\in\Theta(g(x))\Leftrightarrow f(x)\in O(g(x))\land f(x)\in\Omega(g(x))$$

. . . асимптотика