$$\large{\begin{gather*}\normalsize\begin{array}{l|l}1 & \color{#ff7800}x\to 0:\sin x \sim x\\& \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1\\ \\2 & \color{#ff7800}x\to\infty:3x\in o(x^2)\\& \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x^2}=0\\ \\3 & \color{#ff7800}x^3+x^2\in O(x^3)\\& \displaystyle\exists (C>0):|x^3+x^2|\leq C|x^3|\end{array}\end{gather*}}$$
Асимптотическое сравнение функций
Сравнение поведения функций
- Асимптотика — это поведение функции при стремлении её аргумента к некоторой точке
- Асимптотическое равенство: функции асимптотически эквивалентны
- $$f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$
- o и $\omega$ малые: функция асимптотически доминирует над другой функцией
- $$f(x)\in o(g(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$
- $$g(x)\in\omega(f(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$
- O и $\Omega$ большие: функция ограничена другой функцией с точностью до константы
- $$\small f(x)\in O(g(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}\leq C,\quad C>0$$
- $$\small g(x)\in\Omega(f(x))\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}\leq C,\quad C>0$$
- $$\small f(x)\in\Theta(g(x))\Leftrightarrow f(x)\in O(g(x))\land f(x)\in\Omega(g(x))$$
