$$\large{\displaylines{\small\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\\ \normalsize\Updownarrow\\ \normalsize\color{#ff7800} c_n=\sum_{i+j=n+1}a_i\cdot b_j\\ \small c_1=a_1 b_1\\ \small c_2=a_1 b_2+a_2 b_1\\ \small c_3=a_1 b_3+a_2 b_2+a_3 b_1\\ \small\ldots}}$$

Произведение рядов по правилу Коши

правила умножения рядов

Произведением двух рядов по правилу Коши является новый ряд из сумм таких попарных произведений, в которых сумма индексов равна индексу следующего члена нового ряда
Принцип мультипликативности соблюдается, если сходятся все три ряда или выполняется условие Мертенса — ряды-множители сходятся и один из них абсолютно
Является общепринятым, соответсвует правилу произведения степенных рядов

. . . операции с рядами умножение рядов произведение рядов по правилу коши