$$\large{\displaylines{\color{#ff7800} !n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{n!}{k!}}}$$

Число беспорядков

субфакториал

Число всех беспорядков длины $n$ равно $!n$
$$!n=(n-1) \cdot (!(n-1)+!(n-2))$$
При $n>0$ число беспорядков примерно в $e$ раз меньше, чем число перестановок той же длины
$$\frac{!n}{n!} \approx \frac{1}{e} \ \Rightarrow \ !n \approx \left [\frac{n!}{e} \right ]$$