$$\large{\displaylines{\Large {\color{#ff7800}{\overline{C_{n}^{k}}}=C_{(n)}^{k}=\left(\!\!{\binom{n}{k}}\!\!\right)} \\ \\ {\overline{C_{n}^{k}}}=C_{n+k-1}^{k} \\ \\ \normalsize {\overline{C_{n}^{k}}}={\frac {A_{n+k-1}^{k}}{k!}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\left(n-1\right)!}}}}$$

Число сочетаний с повторениями

Дано множество $\{a_1, \ldots, a_n \}$
Для каждого сочетания с повторениями из $n$ по $k$ можно установить взаимно однозначное соответствие с $k$-сочетаниями без повторений:
$$\{a_1, a_1, a_3 \} \ \mathrm{и} \ \{a_{1.1}, a_{1.2}, a_{3.1} \}$$
Минимальная мощность множества, из которого можно получить все подобные сочетания, равна $(n+k-1)$
По принципу биекции, число сочетаний с повторениями из $n$ по $k$ равно числу сочетаний без повторений из $(n+k-1)$ по $k$

. . . сочетание сочетание с повторениями комбинаторные тождества связь сочетаний и размещений