$$\large{\displaylines{\Huge \forall \ \Large \color{#ff7800}\mathrm{for \ all} \\ \\ \Huge \exists \ \Large \color{#ff7800}\mathrm{exists}}}$$

Свойства кванторов

Однотипные кванторы пререстановочны:
$$\forall x \forall y P(x,y) \leftrightarrow \forall y \forall x P(x,y)$$
$$\exists x \exists y P(x,y) \leftrightarrow \exists y \exists x P(x,y)$$
Правила отрицания:
$$\neg \forall x P(x) \leftrightarrow \exists x \neg P(x)$$
$$\neg \exists x P(x) \leftrightarrow \forall x \neg P(x)$$
Правила расширения, $\mathrm{Q} \in \{\forall, \exists \}$:
$$\mathrm{Q} x P(x) \land q \leftrightarrow \mathrm{Q} x (P(x) \land q)$$
$$\mathrm{Q} x P(x) \lor q \leftrightarrow \mathrm{Q} x (P(x) \lor q)$$
Правила объединения:
$$\forall x \forall y (P(x) \land Q(y)) \leftrightarrow \forall x (P(x) \land Q(x))$$
$$\exists x \exists y (P(x) \lor Q(y)) \leftrightarrow \exists x (P(x) \lor Q(x))$$