$$\large{\begin{gather*}\Huge \forall \ \Large \color{#ff7800}\mathrm{for \ all} \\ \\ \Huge \exists \ \Large \color{#ff7800}\mathrm{exists}\end{gather*}}$$
Свойства кванторов
- Однотипные кванторы пререстановочны:
- $$\forall x \forall y P(x,y) \leftrightarrow \forall y \forall x P(x,y)$$
- $$\exists x \exists y P(x,y) \leftrightarrow \exists y \exists x P(x,y)$$
- Правила отрицания:
- $$\neg \forall x P(x) \leftrightarrow \exists x \neg P(x)$$
- $$\neg \exists x P(x) \leftrightarrow \forall x \neg P(x)$$
- Правила расширения, $\mathrm{Q} \in \{\forall, \exists \}$:
- $$\mathrm{Q} x P(x) \land q \leftrightarrow \mathrm{Q} x (P(x) \land q)$$
- $$\mathrm{Q} x P(x) \lor q \leftrightarrow \mathrm{Q} x (P(x) \lor q)$$
- Правила объединения:
- $$\forall x \forall y (P(x) \land Q(y)) \leftrightarrow \forall x (P(x) \land Q(x))$$
- $$\exists x \exists y (P(x) \lor Q(y)) \leftrightarrow \exists x (P(x) \lor Q(x))$$
