$$\large{\begin{gather*}\small\begin{array}{l|l}1 & 3x\in O(3x) \\& 3x\in\Omega(3x)\\& 3x\in\Theta(3x)\\ \\2 & {\color{#ff7800}x\to\infty:}\ x^2+3x\sim x^2\\& {\color{#ff7800}x\to\infty:}\ x^2\sim x^2+3x\\ \\3 & x^3+x^2\in O(x^3)\Leftrightarrow x^3\in\Omega(x^3+x^2)\\& {\color{#ff7800}x\to\infty:}3x\in o(x^2)\Leftrightarrow x^2\in\omega(3x)\\ \\4 & \color{#ff7800}x\to\infty:\\& 3x\in o(x^2),\ x^2\in o(x^3)\Rightarrow 3x\in o(x^3) \end{array}\end{gather*}}$$
Свойства асимптотических выражений
Асимптотические свойства функций
- Рефлексивность: элемент находится в отношении с самим собой
- $$R=\{O,\Omega,\Theta\},\quad f(x)\in R(f(x)) $$
- Симметричность: отношение симметрично
- $$f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow g(x)\sim f(x)$$
- $$f(x)\in\Theta(g(x))\Leftrightarrow g(x)\in\Theta f(x)$$
- Перестановочная симметрия: симметричность с заменой множеств
- $$f(x)\in O(g(x))\Leftrightarrow g(x)\in\Omega(f(x))$$
- $$f(x)\in o(g(x))\Leftrightarrow g(x)\in\omega(f(x))$$
- Транзитивность: последовательное выполнение отношений
- $$T=\{o,\omega,O,\Omega,\Theta\}$$
- $$\small f(x)\in T(g(x)),\ g(x)\in T(h(x))\Rightarrow f(x)\in T(h(x))$$
